Вывод правила 7-10 для радиоактивности
Dec. 7th, 2021 09:26 am![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
vashu11Радиоактивность осадков после атомного взрыва хорошо описывается гиперболическим законом - правило 7-10 (src) говорит что радиоактивность убывает в 10 раз за промежуток времени в 7 раз больше предыдущего. Т.е. если у нас 1000 Р/ч через час после взрыва, то через 7 часов будет 100 Р/ч, через пару суток (49 ч) - 10 Р/ч.
Нетрудно припомнить что одиночный изотоп разлагается по экспоненциальному закону. Я никогда не видел объяснения этого правила, при этом его простота намекает на простой механизм - экспонента описывает систему с одиночной обратной связью, гипербола с двойной.
Попробуем промоделировать распад. Возьмем по грамму полусотни изотопов со логарифмически равномерным временем распада (первый изотоп - 1 секунда, второй - две с, третий - четыре с, и т.д.) от 1 секунды до 3 лет и оценим функцию радиоактивности за пару недель. Гипербола лишь немного лучше экспоненты. :(
А теперь дропнем первый десяток точек и теперь гипербола подходит почти идеально - квадрат ошибки в десять миллиардов раз меньше чем для экспоненты. Распределение изотопов по весу станет таким:
причем сигмоида будет двигаться вправо. Характерное время распада смеси прямо пропорционально пройденному времени - это и дает вторую обратную связь. (вторая отридцательная обратная связь замедляет распад, по сравнению с экспонентой)
Если мы учтем что продукты распада также радиоактивны это не сильно изменит ситуацию - гипербола будет работать даже если 90% осколков радиоактивны. Аналогично гипербола неплохо справится с небольшими нелинейностями и даже с равномерным случайным логарифмическим распределением изотопов по весу.
Полагаю, можно вывести красивое решение дифференциального уравнения, которое даст именно гиперболу, но мой дифференциальный кунг-фу недостаточно силен для того чтобы делать это в рамках развлечения.
Если взять тысячу с лишним изотопов с известными временами распада мы получим график вроде
очевидно эта линейность и порождает гиперболу (строго говоря график говорит о всех изотопах и не очевидно почему равномерно распределены продукты распада).
Нетрудно припомнить что одиночный изотоп разлагается по экспоненциальному закону. Я никогда не видел объяснения этого правила, при этом его простота намекает на простой механизм - экспонента описывает систему с одиночной обратной связью, гипербола с двойной.
Попробуем промоделировать распад. Возьмем по грамму полусотни изотопов со логарифмически равномерным временем распада (первый изотоп - 1 секунда, второй - две с, третий - четыре с, и т.д.) от 1 секунды до 3 лет и оценим функцию радиоактивности за пару недель. Гипербола лишь немного лучше экспоненты. :(
А теперь дропнем первый десяток точек и теперь гипербола подходит почти идеально - квадрат ошибки в десять миллиардов раз меньше чем для экспоненты. Распределение изотопов по весу станет таким:
причем сигмоида будет двигаться вправо. Характерное время распада смеси прямо пропорционально пройденному времени - это и дает вторую обратную связь. (вторая отридцательная обратная связь замедляет распад, по сравнению с экспонентой)
Если мы учтем что продукты распада также радиоактивны это не сильно изменит ситуацию - гипербола будет работать даже если 90% осколков радиоактивны. Аналогично гипербола неплохо справится с небольшими нелинейностями и даже с равномерным случайным логарифмическим распределением изотопов по весу.
Полагаю, можно вывести красивое решение дифференциального уравнения, которое даст именно гиперболу, но мой дифференциальный кунг-фу недостаточно силен для того чтобы делать это в рамках развлечения.
Если взять тысячу с лишним изотопов с известными временами распада мы получим график вроде
очевидно эта линейность и порождает гиперболу (строго говоря график говорит о всех изотопах и не очевидно почему равномерно распределены продукты распада).
